TÉCNICAS DE CONTEO

A lo largo de nuestra vida, se nos han presentado situaciones en las que es necesario realizar un conteo de números, personas, animales, productos, entre otros, así como también observar las distintas formas en las que podemos combinar cambios de ropa, comidas, colores etc. En las ocasiones en que disponemos de pocas cosas nos parecen situaciones sencillas pero en las que disponemos de una mayor cantidad de objetos nos resultan complicadas.

Técnicas de conteo: Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Cuando se nos presenta una problemática, tendremos que elegir la técnica de conteo que más se adecúe a el mismo, para poder hacer esto es necesario que conozcamos las diferentes técnicas que existen y para qué sirven cada una de ellas, a continuación se muestra un diagrama (cuadro sinóptico) en el que se expresan cada una de estas técnicas:

Lista sistemática.

Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas.

Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas.

Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números {1, 2, 3, 5}.

Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar el primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden representarse de la siguiente manera:

Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,12, 13, 15, 21, 22, 23,25, 31, 32, 33, 35, 51, 52, 53, 55.

Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos.

Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol.

Diagrama de árbol.

Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel que al repetirse en varias ocasiones, su resultado no puede predecirse, de igual manera a cada resultado del mismo se le llama evento o suceso.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de un fenómeno aleatorio el cual consta de una serie de pasos. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad ya que en él se muestran todos los eventos posibles de un fenómeno aleatorio.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá colocando una rama para cada una de las posibilidades.

Para obtener cada uno de los resultados posibles tendremos que seguir cada una de las ramas del diagrama.

Ilustraremos la construcción de un diagrama de árbol mediante ejemplos.

Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda en dos ocasiones para verificar su resultado. Construya el diagrama de árbol que representa el número de resultados posibles que se pueden obtener.

Solución.

Paso 1. Iniciamos nuestra construcción dibujando un punto fijo que será el inicio de nuestro diagrama. A la derecha, enlistaremos los posibles resultados que se pueden presentar al realiza el primer lanzamiento de la moneda y los unimos con una línea recta, como se observa en el esquema:

Paso 2. A la derecha de cada uno de los resultados mostrados en el esquema anterior, se agregan los posibles resultados que se obtienen al lanzar una segunda moneda, uniendo con una línea cada uno de ellos al valor escrito al final de cada rama escrita en la parte anterior, como se muestra a continuación:

Por lo tanto, la figura anterior es el resultado del diagrama solicitado. Podrás darte cuenta que si seguimos cada rama de nuestro diagrama, sabremos los resultados posibles, los cuales son: {(águila, águila), (sello, sello), (águila, sello), (sello, águila)}.

Ejemplo 2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B) y en cuanto a la presión sanguínea (Alta o Baja). ¿De cuantas maneras podrá acomodar a sus pacientes?

Construye un diagrama de árbol para dar respuesta a este cuestionamiento.

Solución.

Paso 1. Colocamos el punto de partida de nuestro diagrama, enseguida listaremos los posibles resultados del primer evento que en esta ocasión es si es sexo femenino o masculino. Por lo que nuestro diagrama iniciaría de la siguiente forma:

Paso 2. A la derecha de cada uno de los resultados del primer evento colocaremos los resultados del segundo evento que pertenece al tipo de sangre donde solo de tiene A y B, por lo que nuestro diagrama crecería de la siguiente manera:

Paso 3. Enseguida listaremos el último evento que pertenece al tipo de presión que maneja, y nuestro diagrama quedaría de la siguiente forma:

Teniendo como resultado 8 resultados distintos en el acomodo de los pacientes.