FACTORIALES

Esta técnica es utilizada para determinar las distintas formas en las que se pueden ordenar varios objetos. Esto también es posible con el principio fundamental del conteo, más sin embargo los factoriales proporcionan una manera más corta.

Las factoriales se definen como el producto de todos los números naturales desde n a 1, y se le denomina n factorial y se denota como n! y se expresa de la siguiente manera:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3)

Debe quedar claro que solo se puede obtener una factorial de números enteros positivos.

Ejemplo 1.

Calcular las factoriales y resolver las ecuaciones:

a) 5! =

b) 8! =

c) 3! + 2!

d) (15 – 8)!

Solución:

Se aplica la siguiente ecuación para encontrar las factoriales de cada número:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3)

a) 5!      

1. El valor de n es el número que hay que calcular el factorial es: n = 5             

2. Sustituyendo la ecuación de factoriales tenemos:

5! = 5 x (5-1) x (5-2) x (5-3) x (5-4)

3. Al realizar cada operación de resta se obtienen los siguientes valores:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =  

4. Al multiplicar los valores encontrados da como resultado: 120

b) 8!

1. El valor de n es el número que hay que calcular el factorial es: n = 8             

2. Sustituyendo la ecuación de factoriales tenemos:

8! = 8 x (8-1) x (8-2) x (8-3) x (8-4) x (8-5) x (8-6) x (8-7) =

3. Al realizar cada operación de resta se obtienen los siguientes valores:

5! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

4. Al multiplicar los valores encontrados da como resultado: 40,320

c) 3! + 2! =

En este ejercicio hay que calcular la factorial de cada número y sumarlos.

3! = 3 x (3-1) x (3-2)

3!= 3 x 2 x 1 = 6

2! = 2 x (2-1)

2!= 2 x 1 = 2

3! + 2! = 6 + 2 = 8

d) (15-9)!

En este ejercicio como el símbolo de la factorial se encuentra afuera de los paréntesis hay que realizar la operación que se encuentra dentro el mismo y al resultado sacarle la factorial.

(15 - 9)! = 6!

6! = 6 x (6-1) x (6-2) x (6-3) x (6-4) x (6-5)

6!= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 2.

Carmen ha sacado los 4 ases de una baraja, va colocarlos encima de la mesa ¿De cuántas maneras diferentes podría colocarlos?

Solución.

Este ejercicio consta de un acomodo por lo que lo podemos resolver utilizando factoriales, por que tendríamos la respuesta de la siguiente manera:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneras distintas.

Ejemplo 3.

Carmen, necesita ordenar su portafolio de evidencias. Ella debe agregar 7 trabajos- ¿Cuántas maneras diferentes tendrá para acomodarlos?

Solución.

Para responder esta problemática tendríamos que utilizar factorial de la siguiente manera:

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040.