FACTORIALES

Esta técnica es utilizada para determinar las distintas formas en las que se pueden ordenar varios objetos. Esto también es posible con el principio fundamental del conteo, más sin embargo los factoriales proporcionan una manera más corta.

Las factoriales se definen como el producto de todos los números naturales desde n a 1, y se le denomina n factorial y se denota como n! y se expresa de la siguiente manera:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3)

Debe quedar claro que solo se puede obtener una factorial de números enteros positivos.

Ejemplo 1.

Calcular las factoriales y resolver las ecuaciones:

a) 5! =

b) 8! =

c) 3! + 2!

d) (15 – 8)!

Solución:

Se aplica la siguiente ecuación para encontrar las factoriales de cada número:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3)

a) 5!      

1. El valor de n es el número que hay que calcular el factorial es: n = 5             

2. Sustituyendo la ecuación de factoriales tenemos:

5! = 5 x (5-1) x (5-2) x (5-3) x (5-4)

3. Al realizar cada operación de resta se obtienen los siguientes valores:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =  

4. Al multiplicar los valores encontrados da como resultado: 120

b) 8!

1. El valor de n es el número que hay que calcular el factorial es: n = 8             

2. Sustituyendo la ecuación de factoriales tenemos:

8! = 8 x (8-1) x (8-2) x (8-3) x (8-4) x (8-5) x (8-6) x (8-7) =

3. Al realizar cada operación de resta se obtienen los siguientes valores:

5! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

4. Al multiplicar los valores encontrados da como resultado: 40,320

c) 3! + 2! =

En este ejercicio hay que calcular la factorial de cada número y sumarlos.

3! = 3 x (3-1) x (3-2)

3!= 3 x 2 x 1 = 6

2! = 2 x (2-1)

2!= 2 x 1 = 2

3! + 2! = 6 + 2 = 8

d) (15-9)!

En este ejercicio como el símbolo de la factorial se encuentra afuera de los paréntesis hay que realizar la operación que se encuentra dentro el mismo y al resultado sacarle la factorial.

(15 - 9)! = 6!

6! = 6 x (6-1) x (6-2) x (6-3) x (6-4) x (6-5)

6!= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 2.

Carmen ha sacado los 4 ases de una baraja, va colocarlos encima de la mesa ¿De cuántas maneras diferentes podría colocarlos?

Solución.

Este ejercicio consta de un acomodo por lo que lo podemos resolver utilizando factoriales, por que tendríamos la respuesta de la siguiente manera:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneras distintas.

Ejemplo 3.

Carmen, necesita ordenar su portafolio de evidencias. Ella debe agregar 7 trabajos- ¿Cuántas maneras diferentes tendrá para acomodarlos?

Solución.

Para responder esta problemática tendríamos que utilizar factorial de la siguiente manera:

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040.

ACTIVIDAD 4

Contesta los siguientes cuestionamientos:

1. Calcula la factorial de los números enteros que representan cada uno de los siguientes ejercicios:

a) Alumnos de tu salón de clases.

b) Número de maestros que te imparten clases.

c) Cantidad de baños con lo que cuenta tu escuela.

d) Ventanas con los que cuenta tu casa.

e) Cantidad de focos que tiene tu casa.

f) Número de aires acondicionados u ventiladores que tienes en tu casa.

2. Sin utiliza calculadora resuelve las siguientes operaciones:

a) 9!

b) 5!/(5-2)! 

c) 15!/3! 

d) (4-1)! + 2! 

e) 7! – 3!

3. Luisa tiene quince ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos?

4. Cada vez que Laura lleva al parque a los seis niños que tiene a su cuidado, todos ellos quieren estar siempre al frente de la fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?

NOTA: La fecha de entrega será para la ACTIVIDAD 4 el día VIERNES 03 de Abril del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.

ACTIVIDAD 1, 2, 3

ACTIVIDAD 1

Desarrolla individualmente lo que se te solicita.

1. Mariana tendrá una fiesta, por lo que debe escoger un cambio de ropa para asistir a ella. Cuando mira en su closet se da cuenta que solo tiene 4 vestidos (rojo, azul, negro, rosa), 3 zapatillas (azul, negro, beige) y 2 collares (dorado, plateado). Determina cuantos cambios distintos podrá reunir Mariana.

2. Si lanzas tres monedas (de diferente denominación) se tienen 8 resultados diferentes ¿Cuántos habrá si se lanzan 4 monedas?

3. ¿Cuántos números de dos dígitos podremos formar con los números {1, 2, 4, 5}?

Completa la siguiente tabla.

4. ¿Cuántas palabras (no necesariamente con significado) se pueden formar con las letras de la palabra “escuela”? Escribe cinco de las posibles palabras que cumplen con las condiciones de este problema.

1)_________________

2)_________________

3)_________________

4)_________________

5)_________________

5. Cindy cuenta con siete ensayos que debe incluir en su portafolio de evidencias. ¿Cuantas maneras tendrá para acomodar sus actividades?

ACTIVIDAD 2

1.   Apoyándote del texto anterior, expresa tu opinión sobre la importancia de la existencia de las técnicas de conteo. Comparte tu reflexión con los integrantes de equipo y grupo.

2.  Con la ayuda de tu libro de texto, enuncia y define los elementos que conforman un diagrama de árbol.

ACTIVIDAD 3

Construye un diagrama de árbol para cada una de las siguientes situaciones, posteriormente compara los resultados con el resto de tus compañeros.

1. Mayra desea realizar su vestimenta cotidiana, para ello cuenta con: 10 pantalones, 15 blusas, 5 pares de zapatos y 3 diferentes estilos de accesorios. ¿De cuántas maneras puede realizar Mayra su vestir?

2. Se presentan tres personas a una entrevista de trabajo, a los cuales se les realizan las siguientes preguntas:

¿Cuál es su sexo?

¿Ha trabajado anteriormente?

¿Su sueldo mensual anterior ha sido inferior a 5000 pesos, superior a 5000 pesos pero menor a 10000, o superior a 10000?

Construye el diagrama de árbol que muestre las posibles respuestas de estas preguntas tomando en cuenta el orden en que fueron presentadas.

3. Felipe desea empezar un programa de ejercicios con dos actividades. Durante la semana puede correr o montar en bicicleta. En los fines de semana, puede jugar béisbol, fútbol o voleibol. Dibuja un diagrama para expresar las diferentes formas de entrenar de Felipe.

NOTA: La fecha de entrega será para la ACTIVIDAD 1 el día VIERNES 27 de marzo del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.

La fecha de entrega será para la ACTIVIDAD 2  Y 3 el día LUNES 30 de marzo del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.

TÉCNICAS DE CONTEO

A lo largo de nuestra vida, se nos han presentado situaciones en las que es necesario realizar un conteo de números, personas, animales, productos, entre otros, así como también observar las distintas formas en las que podemos combinar cambios de ropa, comidas, colores etc. En las ocasiones en que disponemos de pocas cosas nos parecen situaciones sencillas pero en las que disponemos de una mayor cantidad de objetos nos resultan complicadas.

Técnicas de conteo: Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Cuando se nos presenta una problemática, tendremos que elegir la técnica de conteo que más se adecúe a el mismo, para poder hacer esto es necesario que conozcamos las diferentes técnicas que existen y para qué sirven cada una de ellas, a continuación se muestra un diagrama (cuadro sinóptico) en el que se expresan cada una de estas técnicas:

Lista sistemática.

Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas.

Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas.

Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números {1, 2, 3, 5}.

Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar el primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden representarse de la siguiente manera:

Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,12, 13, 15, 21, 22, 23,25, 31, 32, 33, 35, 51, 52, 53, 55.

Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos.

Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol.

Diagrama de árbol.

Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel que al repetirse en varias ocasiones, su resultado no puede predecirse, de igual manera a cada resultado del mismo se le llama evento o suceso.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de un fenómeno aleatorio el cual consta de una serie de pasos. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad ya que en él se muestran todos los eventos posibles de un fenómeno aleatorio.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá colocando una rama para cada una de las posibilidades.

Para obtener cada uno de los resultados posibles tendremos que seguir cada una de las ramas del diagrama.

Ilustraremos la construcción de un diagrama de árbol mediante ejemplos.

Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda en dos ocasiones para verificar su resultado. Construya el diagrama de árbol que representa el número de resultados posibles que se pueden obtener.

Solución.

Paso 1. Iniciamos nuestra construcción dibujando un punto fijo que será el inicio de nuestro diagrama. A la derecha, enlistaremos los posibles resultados que se pueden presentar al realiza el primer lanzamiento de la moneda y los unimos con una línea recta, como se observa en el esquema:

Paso 2. A la derecha de cada uno de los resultados mostrados en el esquema anterior, se agregan los posibles resultados que se obtienen al lanzar una segunda moneda, uniendo con una línea cada uno de ellos al valor escrito al final de cada rama escrita en la parte anterior, como se muestra a continuación:

Por lo tanto, la figura anterior es el resultado del diagrama solicitado. Podrás darte cuenta que si seguimos cada rama de nuestro diagrama, sabremos los resultados posibles, los cuales son: {(águila, águila), (sello, sello), (águila, sello), (sello, águila)}.

Ejemplo 2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B) y en cuanto a la presión sanguínea (Alta o Baja). ¿De cuantas maneras podrá acomodar a sus pacientes?

Construye un diagrama de árbol para dar respuesta a este cuestionamiento.

Solución.

Paso 1. Colocamos el punto de partida de nuestro diagrama, enseguida listaremos los posibles resultados del primer evento que en esta ocasión es si es sexo femenino o masculino. Por lo que nuestro diagrama iniciaría de la siguiente forma:

Paso 2. A la derecha de cada uno de los resultados del primer evento colocaremos los resultados del segundo evento que pertenece al tipo de sangre donde solo de tiene A y B, por lo que nuestro diagrama crecería de la siguiente manera:

Paso 3. Enseguida listaremos el último evento que pertenece al tipo de presión que maneja, y nuestro diagrama quedaría de la siguiente forma:

Teniendo como resultado 8 resultados distintos en el acomodo de los pacientes.